|
|
|
| August 2003 | Heureka |
Wie groß ist die Unendlichkeit?von Ralf Schauerhammer
In der ersten Ausgabe von Heureka! untersuchten wir die Frage "Wie groß ist die Welt" und schlossen mit dem Hinweis auf die kleine Schrift Sandrechner, in der Archimedes von Syrakus (285-212 v.Chr.) überlegte, wie viele Sandkörner im Universum Platz finden. Nun wollen wir unsere Überlegungen fortsetzen. Der Sandrechner wird uns dabei helfen, einige revolutionäre Gedanken nachzuvollziehen, die der deutsche Mathematiker Georg Cantor vor 130 Jahren erstmals entwickelte - Gedanken, deren Tragweite bis heute nur unzureichend gewürdigt sind. Wahrscheinlich werden viele die Frage "Wie groß ist die Unendlichkeit?" für Quatsch oder für einen Scherz halten. Unendlich ist doch gerade jenseits jeder Größe, eben etwas ohne Ende! Ist es wirklich so einfach? Oft hält man ja eine Frage nur aufgrund eigener Vorurteile und Unwissenheit für unsinnig. Vielleicht scheint die Frage nur unsinnig, weil die eigene Idee "Unendlichkeit" zu banal ist? Vielleicht geht es uns ja wie dem klugen Hund, dessen Herrchen übers Wochenende verreist und zwei Portionen Futter hinstellt - eine für Samstag und eine für Sonntag. Der Hund erkennt aber gar keine zwei Mahlzeiten, sondern frißt beide Portionen als eine einzige auf, sobald das Herrchen aus dem Hause ist. Wenn der Hund zählen könnte, wäre er in der Lage, sein Herrchen zu verstehen und zwei Mahlzeiten zu unterscheiden. Er würde dann sicherlich aus freier Willensentscheidung (und nicht aus reiner Dummheit) die beiden Portionen unmittelbar nacheinander fressen - erst eins, dann zwei. Betrachten wir zunächst, wie Archimedes die Zahl der Sandkörner ausrechnet, welche im Universum Platz finden könnten1. Oberflächlich betrachtet ist die Sache trivial. Archimedes geht davon aus, daß das Universum ein endliches Volumen hat. Das Volumen eines Sandkorns muß also nur mit der entsprechenden Zahl multipliziert werden. Gewiß wird die Zahl recht groß sein, zehn hoch zehn, zehn hoch zwanzig oder mehr, immer jedoch wird es eine in der Form a0 + a1*10 + a2*102 + a3*103 + ... an*10n (dabei steht an für die Ziffern 0, 1, 2, ...9) darstellbare endliche Dezimalzahl sein. Das Interessante an der Schrift ist jedoch folgendes: Archimedes kannte noch kein Dezimalsystem. Vergessen wir also für einen Augenblick, wie klug wir heute sind. Zählen wir I, II, III, IV,... X, XI, XII, wie auf dem Zifferblatt von Opas Taschenuhr. Wenn wir weiter zählen, gelangen wir zum Beispiel zu MDCXLVIII, was 1648 bedeutet, das Jahr, in dem der Westfälische Frieden geschlossen wurde, wobei M für 1000 steht, D für 500, C für 100, L für 50, X für 10, V für 5 und I für 1. Wenn wir so weiter machen, werden uns auf dem Weg zu zehn hoch zehn oder zehn hoch zwanzig oder mehr recht bald die Buchstaben ausgehen. |
|
Nun wird die kleine Schrift von Archimedes plötzlich interessant. Wie gelangt er überhaupt zu den sehr großen Zahlen, mit denen er die Sandkörner zählen kann? Sehen wir nach, wie es ihm gelang, ein geeignetes Zählsystem zu konstruieren. Er zählt erst einmal so weit, wie er nur zählen kann und kommt dabei immerhin zu einer Zahl, die wir heute 108 schreiben. Die Zahl selbst und ihr Zeichen ist nebensächlich, die Zahl könnte auch mit dem Zeichen "E" oder "ω" benannt werden. Dann kommt ein ganz entscheidender Schritt, er nennt diese Zahl "die Zahl erster Ordnung" und macht diese wiederum zur "Einheit der Zahlen zweiter Ordnung" und zählt mit dieser neuen "Einheit" weiter. Er kann nun bis 1016 zählen, was wiederum mit anderen Zahlzeichen, wie z.B. "E2" oder "2ω" benannt werden könnte. Dann bildet er Einheiten aus "Zahlen dritter Ordnung" usw. Die Idee, eine Zahl, d.h. eine "Vielheit" zur "Einheit" zu machen und damit anschließend genauso zu zählen wie mit der Einheit selbst, das war für das damalige Zahlenverständnis ein revolutionärer Schritt. Wie revolutionär, kann man daran ermessen, daß es Archimedes nicht gelang, das Dezimalsystem - welches ihm hier geradezu "auf der Zunge liegt" - explizit zu formulieren. Dazu sollten noch Jahrhunderte vergehen, bis schließlich die Null als Zahl von den Arabern hinreichend gewürdigt wurde. Wie dem auch sei, die "Vielheits-Einheits-Methode" von Archimedes sollten wir uns merken. |
Georg Cantor und die "Mengenlehre"Wenden wir uns nun Georg Cantor zu, dessen Ideen bis heute zumeist verkannt werden. Man nennt ihn zwar "Vater der Mengenlehre", aber was heute als "Menge" bezeichnet wird, hat nichts mit dem zu tun, was Cantor ursprünglich darunter verstand. Die Hauptschuld an der bewußten Verballhornung von Cantors Mengenlehre trägt übrigens Bertrand Russell. Der wesentliche Aufsatz mit dem heute Cantors "Vaterschaft" für die Mengenlehre - er selbst spricht von "Mannigfaltigkeiten" und nicht von "Mengen" - begründet wird, erschien 1883. Dort schreibt Cantor in der ersten Anmerkung ausdrücklich: "Unter einer Mannigfaltigkeit oder Menge verstehe ich nämlich allgemein jedes Viele, welches sich als Eines denken läßt, d.h. jeden Inbegriff bestimmter Elemente, welcher durch ein Gesetz zu einem ganzen verbunden werden kann, und ich glaube hiermit etwas zu definieren, was verwandt ist mit dem Platonischen 'eidos' oder 'idea'."2 Und in der sechsten Anmerkung, die sich auf die konzeptionellen Grundlagen seiner Mengenlehre bezieht, schreibt er: "Diese Überzeugung stimmt wesentlich sowohl mit den Grundsätzen des Platonischen Systems überein ... Auch in der Leibnizschen Philosophie läßt sich dasselbe erkenntnistheoretische Prinzip nachweisen. Erst seit dem neueren Empirismus, Sensualismus und Skeptizismus sowie dem daraus hervorgegangenen Kantschen Kritizismus glaubt man die Quelle des Wissens und der Gewißheit in die Sinne oder doch in die sogenannten reinen Anschauungsformen der Vorstellungswelt verlegen und auf sie beschränken zu müssen. Meiner Überzeugung nach liefern diese Elemente durchaus keine sichere Erkenntnis, weil letztere nur durch Begriffe und Ideen erhalten werden kann, die von äußeren Erfahrungen höchstens angeregt" werden. Deshalb entwickelt Cantor ein wissenschaftliches Programm, um die "mechanische Naturerklärung" (der Empiristen) durch eine über diese "hinausgreifende organische Naturerklärung" zu ersetzen. Und die Frage der exakten mathematischen Faßbarkeit des Unendlichen spielt hierbei eine ganz entscheidende Rolle, denn, so Cantor: "Die Worte, endlicher Verstand, welche man so vielfach zu hören bekommt, treffen, wie ich glaube, in keiner Weise zu. So beschränkt auch die menschliche Natur in Wahrheit ist, vom Unendlichen haftet ihr doch sehr vieles an." Nutzen wir also unseren unendlichen Verstand, um die geniale Entdeckung nachzuvollziehen, die Cantor kurz vor Weihnachten 1873 gemacht hat. Wir beginnen wie Archimedes einfach, indem wir mit den sogenannten "natürlichen Zahlen" 1, 2, 3, 4, 5, ... zählen. Zu welcher Zahl wir auf diese Weise auch gelangen, es ist eine endliche Zahl, nennen wir sie z.B. M, auf die durch das Hinzufügen von 1 die größere Zahl M+1 und dann die noch größere Zahl M+2 folgt. Obwohl man immer endliche Zahlen erhält, kann man unendlich weiterzählen. Es gibt also unendlich viele natürliche Zahlen. Das Verhältnis zweier natürlicher Zahlen, z.B. 1 : 3, fassen wir auch als Zahlengröße auf. Wir nennen es Bruchzahl oder rationale Zahl und schreiben dafür 1/3 oder 0,33... Dabei sind die drei Punkte ganz entscheidend. Sie bedeuten, daß die Ziffer 3 unendlich oft hingeschrieben werden müßte. Ein noch interessanterer Fall liegt bei dem Verhältnis von Diagonale und Seite des Rechtecks vor. Wie bereits Platon in seinem Dialog Menon zeigt, läßt sich dieses Verhältnis nicht durch ein Verhältnis zweier natürlicher Zahlen ausdrücken, es ist "inkommensurabel", aber trotzdem exakt, da geometrisch konstruierbar. Wir nennen es heute Wurzel aus 2 und schreiben √ 2 = 1,41421... Auch hier sind die drei Punkte ganz entscheidend. Sie bedeuten, daß unendlich viele Stellen folgen, wobei sich hier (im Gegensatz zu den Bruchzahlen) nie eine bestimmte Ziffernfolge wiederholt, aber dennoch alle folgenden Ziffern durch den gegebenen Konstruktionsprozeß (hier das Verhältnis der Diagonale zur Seite des Rechtecks) festgelegt sind. Man müßte also fortfahren mit 1,414213... und 1,4142135... und 1,41421356... usw. Wie weit man auch fortfährt, man wird nie an einen Punkt kommen, ab dem sich eine Ziffernfolge immer wiederholt. Alle Zahlen, die sich als Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen darstellen lassen, dazu gehört z.B. auch das Verhältnis von Durchmesser zu Kreisumfang π = 3,1415926535..., nennen wir "reelle Zahlen". Natürlich gibt es unendlich viele reelle Zahlen, denn jede natürliche Zahl ist ja auch eine reelle Zahl (wie z.B. 1,000... = 1 = 0,999...) und da es unendlich viele natürlichen Zahlen gibt, muß das für die reellen Zahlen erst recht zutreffen. Cantor stellte nun Fragen, die sich auf den ersten Blick genauso verrückt anhören wie die Überschrift dieses Artikels. Er fragte z.B.: Gibt es mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen? Gibt es mehr rationale Bruchzahlen als natürliche Zahlen? Solche Fragen hatte vor Cantor niemand wirklich ernsthaft untersucht. Doch Cantor tat es, und er entdeckte dabei etwas ganz Erstaunliches, das ihn zuerst selbst überraschte. Voraussetzung für seine Entdeckung war, daß er sich sehr genau überlegte, was "zählen" überhaupt bedeutet. Cantor erkannte, daß wir dabei in unserem Geist nämlich zwei ganz verschiedene Dinge tun. Wir können nämlich zählen, bevor wir Zahlen kennen. So kann z.B. ein Kind, welches noch nicht bis drei zählen kann, trotzdem erfolgreich den Tisch für die ganze Familie decken. Vor die Aufgabe gestellt, für die sechs Familienmitglieder zu decken, wird es einen Teller für sich hinstellen, einen an Mamas Platz, einen an Papas, einen an Opas, einen an Omas und schließlich einen an den Platz der großen Schwester. Vielleicht wählt das Kind auch eine andere Reihenfolge, aber wenn es jeder Person einen Teller zuordnet, dann stimmt die Anzahl. Die Zahl als Anzahl, bei der es auf die Reihenfolge nicht ankommt (d.h., bei der von der Ordnung der Zahlen abstrahiert wird), nennt Cantor "Kardinalzahl". Die Qualität der Zahlen, die wir im Geiste mit Rangordnung verbinden, die durch das Abzählen hergestellt wird und für die man Zahlen tatsächlich kennen muß (oder zumindest deren Konstruktionsmethode), nennt Cantor "Ordinalzahlen". Dieser Aspekt der Ordnung ist für den Zahlenbegriff gar nicht so entscheidend, was man z.B. auch daran sieht, daß komplexe Zahlen keine "Ordinalzahlen" sind - was ist größer 1 oder i ? - aber dennoch sind die komplexen Zahlen vollwertige Zahlen.3 |
|
Diese Überlegung Cantors ist sehr ermutigend, denn bezüglich der "Größe" des Unendlichen befinden wir uns ja genau in der Situation des Kindes, welches noch nicht zählen kann. Wohlmöglich wird es uns gelingen, mit dem "Tischdeck-Verfahren" des Kindes im Unendlichen zu "zählen". Beginnen wir mit den natürlichen Zahlen und versuchen wir der Reihe nach, einige der seltsamen Fragen zu beantworten. Erste Frage: Wie viele Quadratzahlen gibt es? Die Antwort: Genauso viele wie natürliche Zahlen! Man kann nämlich die einfache Zuordnung herstellen:
Auf den ersten Blick mag das erstaunen, denn die Quadratzahlen sind eine echte Teilmenge der natürlichen Zahlen und man hat den Eindruck, daß es viel weniger Quadratzahlen gibt, insbesondere weil die Sprünge, welche die Quadratzahlen mit wachsender Größe machen, immer weiter werden; sie sind verglichen mit den natürlichen Zahlen "immer dünner gesät". Aber die Unendlichkeit schert sich um diese - zwar wachsenden, aber dennoch "nur" endlichen - Sprünge überhaupt nicht. Zweite Frage: Wie viele rationale Zahlen (Bruchzahlen) gibt es? Spontan nimmt man an, daß es viel mehr Bruchzahlen geben muß, denn nicht nur die Folge 1/2, 1/3, 1/4, 1/5... , welche gegen Null läuft, enthält unendlich viele rationale Zahlen, sondern man kann für jede der unendlich vielen rationalen Zahlen eine derartige Folge bilden (z.B. 1/9+1/2, 1/9+1/3, 1/9+1/4, 1/9+1/5... ). Die Antwort ist aber: Es gibt genauso viele Bruchzahlen wie natürliche Zahlen! Cantor hat nämlich ein Verfahren entwickelt, mit dem man alle Brüche abzählen kann. Es ist das sogenannte Diagonalverfahren. Dabei ordnet man die Brüche folgendermaßen an: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ... 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6, ... 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5, 3/6, ... 4/1, 4/2, 4/3, 4/4, 4/5, 4/6, ... 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, 5/5, 5/6, ... 6/1, 6/2, 6/3, 6/4, 6/5, 6/6, ... Die Brüche kann man dann "diagonal" abzählen, nämlich: 1/1, 1/2, 2/1, 3/1, 2/2, 1/3, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 5/1, 4/2, 3/3, 2/4, 1/5, 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1, 7/1, 6/2, ... usw. (Die Diagonalmethode wird sofort klar, wenn man diese Brüche der Reihe nach in der Anordnung mit Bleistift verbindet.) Wenn jemand diese Methode anzweifelt, muß man ihn nur eine Bruchzahl nennen lassen, welche nicht "abgezählt" wurde. Er nennt z.B. 4/3 oder 1648/2003 oder allgemein p/q. Wir können ihm darauf sagen, daß diese Zahl von der Diagonale gezählt wird, die von 1/6 nach 6/1 verläuft, bzw. von 1/3650 nach 3650/1, bzw. 1/(p+q-1) nach (p+q-1)/1. Keine rationale Zahl bleibt übrig, d.h. auch die Bruchzahlen sind wie die natürlichen Zahlen abzählbar unendlich viele. Cantor zeigt nun, daß sogar alle algebraischen Zahlen - dazu gehört unser oben erwähntes Beispiel, aber nicht die Zahl π - die gleiche Kardinalität wie die natürlichen Zahlen haben. Dritte Frage: Wie viele reellen Zahlen gibt es? Nach den bei der Beantwortung der zweiten Frage gemachten Erfahrungen tippt man bestimmt darauf, daß auch die reellen Zahlen durch die natürlichen Zahlen abgezählt werden können - unendlich ist eben unendlich. Eine Zeit lang hatte Cantor das auch gedacht, doch dann gelang ihm der Beweis für die verblüffende Antwort: Die reellen Zahlen sind nicht abzählbar! Es gibt mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen! Und es gibt somit verschieden unendliche Kardinalzahlen - man kann im Unendlichen weiterzählen! Diese Zahlen im Unendlichen nannte Cantor "transfinite" Zahlen. Doch bevor wir darauf eingehen, müssen wir uns noch klar machen, daß die reellen Zahlen wirklich überabzählbar sind. Das machen wir mit einemWiderspruchsbeweis. Beim Beweis der Abzählbarkeit der Bruchzahlen hatten wir eine Anordnung gefunden, mit der wir jedem Zweifler zeigen konnten, daß jeder Bruch, den er nennt, tatsächlich abgezählt wird. Nun machen wir es umgekehrt, wir nehmen an, wir hätten eine beliebige Anordnung gefunden, mit der die reellen Zahlen abgezählt werden können und zeigen dann, daß wir für diese (und jede andere derartige) Anordnung mindestens eine reelle Zahl angeben können, die garantiert nicht in dieser Liste enthalten ist. Das bedeutet, eine derartige Anordnung der reellen Zahlen, mit der man diese vollständig abzählen kann, gibt es nicht. Es bleibt immer ein Teller auf dem Tisch übrig. Die Kardinalität der reellen Zahlen ist größer als die der natürlichen Zahlen (und damit auch die der Brüche). Beginnen wir also mit der Liste der Anordnung, und zwar beschränken wir uns auf die reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Das sind alle reellen Zahlen, die mit einer 0 vor dem Komma beginnen. Sie habe die Form 0, a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 ... , wobei die ai für die Ziffern 0,1,2,... 9 stehen. Die Liste der Anordnung muß dann die folgende Form haben: 0, a11 a21 a31 a41 a51 a61 a71... 0, a12 a22 a32 a42 a52 a62 a72... 0, a13 a23 a33 a43 a53 a63 a73... 0, a14 a24 a34 a44 a54 a64 a74... ... 0, a1n a2n a3n a4n a5n a6n a7n ... amn Die amn stehen für die Ziffern 0,1,2,... 9. Um zu zeigen, daß diese Liste (welche Anordnung ihr auch zugrunde liegen sollte) nicht vollständig sein kann, konstruieren wir die reelle Zahl b = 0, b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 ... auf die folgende Weise. Wenn a11 = 0 dann b1 = 1, sonst b1 = 0, d.h. b stimmt an der 1. Nachkommastelle nicht mit der 1. Zahl der Liste überein. Wenn a22 = 0 dann b2 = 1, sonst b2 = 0, d.h. b stimmt an der 2. Nachkommastelle nicht mit der 2. Zahl der Liste überein. Oder allgemein: Wenn amm = 0 dann bm = 1, sonst bm = 0, d.h. b stimmt an der m-ten Nachkommastelle nicht mit der m-ten Zahl der Liste überein. Das bedeutet aber, daß die Zahl b in der angeblich vollständigen Liste nicht enthalten sein kann. Andererseits ist b ganz offensichtlich eine reelle Zahl zwischen 0 und 1. Die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 lassen sich also nicht abzählen, und alle reellen Zahlen erst recht nicht. Die Kardinalität der reellen Zahlen ist größer als die der natürlichen Zahlen. Nun haben wir die Voraussetzung, um die revolutionäre Leistung Cantors nachzuvollziehen. Cantor entwickelte nämlich auf der Grundlage, die wir durch die Untersuchung der drei vorangegangenen Fragen gelegt haben, die Idee der "transfiniten Zahlen", mit denen man im Unendlichen zählen kann. Wer sich das Problem wirklich durchgedacht hat, mit dem Archimedes bei seinem Sandrechner konfrontiert war, wird das folgende leicht verstehen. Cantor erkennt, daß es für Ordnungszahlen zwei "Erzeugungsprinzipien" gibt. Das erste besteht im Hinzufügen von 1 (also 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...). Das zweite Erzeugungsprinzip besteht nun darin, daß man diesen unendlichen Erzeugungsprozeß erster Art insgesamt als Einheit betrachtet. Cantor gibt der dadurch entstehenden neuen Einheit den Namen ω und erklärt, wie man damit weiterzählen kann, und zwar mit den ersten Erzeugungsprinzip ω+1, ω+2, ω+3... und dann wieder mit dem zweiten 2ω und wieder mit den ersten 2ω+1, 2ω+2, 2ω+3... und dann als nächstes 3ω, 3ω+2, 3ω+3..., und so fort. Wie wir bei der Untersuchung zur zweiten Frage gesehen haben, gibt es unendlich viele neue transfinite Zahlen, welche alle die gleiche Kardinalität der natürlichen Zahlen haben, aber die dritte Frage hat gezeigt, daß eine Struktur im Unendlichen besteht, weil an einem bestimmten Punkt die nächsthöhere Kardinalität erreicht wird. Cantor verwendet als Zeichen für diese unendlichen Kardinalzahlen (er spricht auch von Zahlenklassen) den ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets Aleph. In Cantors eigenen Worten: "Die erste Zahlenklasse (I) ist die Menge der endlichen ganzen Zahlen 1,2,3, ...,n, ..., auf sie folgt die zweite Zahlenklasse (II), bestehend aus in bestimmter Sukzession einander folgenden unendlichen ganzen Zahlen; erst nachdem die zweite Zahlenklasse definiert ist, kommt man zur dritten, dann zur vierten usw... Was ich behaupte... ist, daß es nach dem Endlichen ein Transfinitum (welches man auch Suprafinitum nennen könnte), d.i. eine unbegrenzte Stufenleiter von bestimmten Modis gibt, die ihrer Natur nach nicht endlich, sondern unendlich sind, welche aber ebenso wie das Endliche durch bestimmte, wohldefinierte und voneinander unterscheidbare Zahlen determiniert werden können. Mit den endlichen Größen ist daher meiner Überzeugung nach der Bereich der definierbaren Größen nicht abgeschlossen, und die Grenzen unserer Erkenntnis lassen sich dementsprechend weiter ausdehnen..."4 John Locke, der Gegner von Leibniz und Förderer von Isaac Newton, hatte behauptet: "Es dürfte sich schwerlich jemand finden, der unsinnig genug wäre zu behaupten, er besitze die positive Idee einer wirklichen, unendlichen Zahl." Cantor hat diesen "Unsinn" nicht nur behauptet, sondern er hat diese unendlichen Zahlen konstruiert, ja nicht nur das, er hat sogar im Detail begründet, wie man mit diesen unendlichen Zahlen rechnen kann. Und noch mehr, wenn man zum Beispiel seine Begründung der transfiniten Zahlen mit seinen Untersuchungen über Fundamentalreihen in Zusammenhang setzt, dann sieht man, daß erst dadurch die irrationalen Zahlen (unser Beispiel war √2) als Zahlen exakt begründet wurden und somit das seit den Griechen bestehende Problem der Inkommensurabilität durch Cantors prometheischen Griff ins Unendliche gelöst wurde. Anmerkungen:
|